経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：問0.3解答例
【解答 0.3】
$A > 0$ は暗黙の了解（笑）．このとき関数 $f(D)=1-(1+kD)e^{-kD}$ に対し，$f(D)\geq 0$ が$D\geq 0$に対して成立することを示せばよい．
\begin{align}
f^{\prime}(D)&=-ke^{-kD}+(1+kD)ke^{-kD}\\
&=-ke^{-kD}+ke^{-kD}+k^2De^{-kD}\\
&=k^2De^{-kD}
\end{align}
したがって $D > 0$ に対して $f^{\prime}(D) > 0$ であるので，次の増減表を得る．
\[
\begin{array}{c|c|c}
D & 0 & 0 < D \\\hline
f^{\prime}(D) & 0 & +\\\hline
f(D) &f(0) & \nearrow
\end{array}
\]
ゆえに， $D \geq 0$ に対して，$f(D)\geq f(0)=1-(1+0)e^{-0}=0$．
【解答 0.3 終わり】
【メモ】
この不等式は一般の双曲型割引関数 $\displaystyle (1+\alpha t)^{-\dfrac{\gamma}{\alpha}}$ との間でも成立する．実際
$\displaystyle f(t)=1-(1+\alpha t)^{\dfrac{\gamma}{\alpha}}e^{-kt}$ に対し，
\[
\begin{align}
f^{\prime}(t)&=\gamma(1+\alpha t)^{\dfrac{\gamma}{\alpha}-1}e^{-kt}
+k(1+\alpha t)^{\dfrac{\gamma}{\alpha}}e^{-kt}\\
&=(1+\alpha t)^{\dfrac{\gamma}{\alpha}}
\Bigl(\frac{\gamma}{(1+\alpha t)}+k\Bigr)e^{-kt}>0
\end{align}
\]
となるからである．
【メモ終わり】
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