経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：問2.11解答例
【解答 2.11】
製品$1$の利潤 ${\pi}_1(p_1,p_2)$ は
\begin{align}
{\pi}_1(p_1,p_2)&=p_1q_1-c_1\\[2mm]
&=p_1(26-4p_1+p_2)-(26-4p_1+p_2)\\[2mm]
&=(p_1-1)(26-4p_1+p_2).
\end{align}
横軸切片は $p_1=1, \dfrac{26+p_2}{4}$ なので最適反応関数は
\[
R_1(p_2)=(1+\dfrac{26+p_2}{4})\div 2 =\dfrac{30+p_2}{8}
\]
製品$2$の利潤 ${\pi}_2(p_1,p_2)$ は
\begin{align}
{\pi}_2(p_1,p_2)&=p_2q_2-c_2\\[2mm]
&=p_2(80-5p_2+2p_1)-2(80-5p_2+2p_1)\\[2mm]
&=(p_2-2)(80-5p_2+2p_1).
\end{align}
横軸切片は $p_2=2, \dfrac{80+2p_1}{5}$ なので最適反応関数は
\[
R_2(p_1)=(2+ \dfrac{80+2p_1}{5})\div 2 =\dfrac{90+2p_1}{10}
\]
連立方程式
\[
\left\{
\begin{array}{ccl}
p_1&=&R_1(p_2)=\dfrac{30+p_2}{8}\\[2mm]
p_2&=&R_2(p_1)=\dfrac{90+2p_1}{10}
\end{array}
\right.
\]
から，$p_1=5, p_2=10$となる．
【問 2.11終わり】
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