経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問 3.15

指数法則を使った方程式がすらすらと解けるようになると，経済学で出るラグランジュの未定乗数法の解法も楽々に♡

1. $2^x=8 \Longleftrightarrow 2^x=2^3$．なので，$x=3$．


2. $(0.2)^x=5 \Longleftrightarrow (5^{-1})^x=5\Longleftrightarrow 5^{-x}=5^1$なので，$x=-1$．


3. $(\sqrt{3})^x=27 \Longleftrightarrow (3^{\frac{1}{2}})^x=3^3 \Longleftrightarrow 3^{\frac{x}{2}}=3^3 \Longleftrightarrow \dfrac{x}{2}=3$ なので，$x=6$．


4. $\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^x=3 \Longleftrightarrow (3^{-\frac{1}{2}})^x=3^1\Longleftrightarrow -\dfrac{x}{2}=1$ なので，$x=-2$．


5. $x^{\frac{1}{3}}=2 \Longleftrightarrow \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3=2^3 \Longleftrightarrow x=8$．


6. $\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{3}}=4 \Longleftrightarrow x^{\frac{1}{3}}=8\Longleftrightarrow \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3=8^3 \Longleftrightarrow x=512$


7. $8^x-4^{x+1}+2^x(2^x+2)=(2^{x})^3-4(2^{x})^2+2^x(2^x+2)$ なので $2^x=X$ とおくと
   $X^3-4X^2+X(X+2)=X(X^2-4X+X+2)=X(X^2-3X+2)=X(X-1)(X-2)$ に変形できる．
   $2^x\neq 0$ なので $X=0$ は不適．$X=1$のとき $2^x=1 \Rightarrow x=0$，$X=2$のとき $2^x=2 \Rightarrow x=1$．


8. $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x=3^{x+4} \Longleftrightarrow (3^{-1})^x=3^{x+4} \Longleftrightarrow -x=x+4$ なので $x=-2$．