経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問 3.16

大学受験にしか使わないじゃないの？との批判もあるでしょうが，指数の扱いに慣れるためにあえて出題しました．

1. $\left(\sqrt{3}\right)^x > 27 \Longleftrightarrow 3^{\frac{x}{2}} > 3^3 \Longleftrightarrow \dfrac{x}{2} > 3$．ゆえに $x > 6$．


2. $\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^x \geq 3 \Longleftrightarrow 3^{-\frac{x}{2}} \geq 3^1 \Longleftrightarrow -\dfrac{x}{2} \geq 1$．ゆえに $x \leq -2$．


3. $\left(\dfrac{1}{3}\right)^y \leq 3^{y+4} \Longleftrightarrow 3^{-y} \leq 3^{y+4} \Longleftrightarrow -y \leq y+4 $．ゆえに $y \geq -2$．


4. $8^x-4^{x+1}+2^x(2^x+2)=(2^{x})^3-4(2^{x})^2+2^x(2^x+2)$ なので $2^x=X$ とおくと
   $X^3-4X^2+X(X+2)=X(X^2-4X+X+2)=X(X^2-3X+2)=X(X-1)(X-2)$ に変形できる．
   $X=2^x > 0$ なので $(X-1)(X-2) < 0 $ を解き $1=2^0 < X=2^x < 2=2^1$ となることから， $ 0 < x < 1$．