これは経済学（ラグランジュ乗数法）で使います．効用関数がコブ・ダグラス型のとき．
$ \left\{\begin{array}{ll} x^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}} =2& (1) \\ x^{\frac{2}{3}}y^{-\frac{1}{3}} =3& (2) \end{array} \right. $
辺々を割り算する． \begin{align*} 左辺&=(x^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}} )\div (x^{\frac{2}{3}}y^{-\frac{1}{3}} )\\[2ex] &=(x^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}} )(x^{\frac{2}{3}}y^{-\frac{1}{3}} )^{-1}\\[2ex] &=(x^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}} )(x^{-\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}} )\\[2ex] &=x^{-\frac{1}{3}}x^{-\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}} \\[2ex] &=x^{-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} \\[2ex] &=x^{-1}y=\dfrac{2}{3}\\[2ex] &=右辺. \end{align*} したがって$y=\dfrac{2}{3}x$となってこれを$1$本目の式に戻すことで $x^{-\frac{1}{3}}\left(\dfrac{2}{3}x\right)^{\frac{2}{3}}= \left(\dfrac{2}{3}\right)^{\frac{2}{3}}x^{\frac{1}{3}}=2$となる． ゆえに$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}x=2^3$ と変形して，ようやく $x=18, y=12$ を得る．$ \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle 2=\frac{\ 1 \ }{3}\lambda L^{-\frac{2}{3}}{K}^{\frac{2}{3}} & (1)\\[2ex] \displaystyle 3= \frac{\ 2 \ }{3}\lambda L^{\frac{1}{3}}{K}^{-\frac{1}{3}} & (2)\\[2ex] \displaystyle 4=L^{\frac{1}{3}}{K}^{\frac{2}{3}}& (3) \end{array} \right. $
変数は$L,K,\lambda$の$3$つであることに注意する．$(1)$と$(2)$の辺々を割り算する． \begin{align*} \dfrac{2}{3} &=\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}\bigl(L^{-\frac{2}{3}}{K}^{\frac{2}{3}}\bigr) \bigl(L^{\frac{1}{3}}{K}^{-\frac{1}{3}} \bigr)^{-1}\\[2mm] &=\frac{1}{2}\bigl(L^{-\frac{2}{3}}{K}^{\frac{2}{3}}\bigr) \bigl(L^{-\frac{1}{3}}{K}^{\frac{1}{3}} \bigr)\\[2mm] &=\frac{1}{2}\bigl(L^{-\frac{2}{3}}{L}^{-\frac{1}{3}}\bigr) \bigl(L^{\frac{2}{3}}{K}^{\frac{1}{3}} \bigr)\\[2mm] &=\frac{1}{2}L^{-1}K \end{align*} ゆえに$\displaystyle K=\frac{4}{3}L$となる．これを$(3)$式に代入すると， $L^{\frac{1}{3}}\left(\dfrac{4}{3}L\right)^{\frac{2}{3}}=4$から，$L=4\times (4)^{-\frac{2}{3}}\times 3^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{2}{3}}3^{\frac{2}{3}}$が求まる． これから，$K=\dfrac{4}{3}L=2^{\frac{8}{3}}3^{-\frac{1}{3}}$ さらに$(1)$式から， $\displaystyle \lambda = 2\times 3\times \left(2^{\frac{2}{3}}3^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{2}{3}} \left(2^{\frac{8}{3}}3^{-\frac{1}{3}}\right)^{-\frac{2}{3}} =2^{1+\frac{4}{9}-\frac{16}{9}}\times 3^{1+\frac{4}{9}+\frac{2}{9}}=2^{-\frac{1}{3}}3^{\frac{5}{3}}$． うへぇ$(^>-^<;)$じたばた．$ \left\{\begin{array}{ll} x^{\alpha -1}y^{ \beta} =p& (1) \\ x^{\alpha}y^{\beta-1} =q& (2) \end{array} \right. $
辺々を割り算する． \begin{align*} 左辺&=(x^{\alpha -1}y^{\beta} )\div (x^{\alpha}y^{{\beta-1}} )\\[2ex] &=(x^{\alpha -1}y^{\beta} )(x^{\alpha}y^{{\beta-1}} )^{-1}\\[2ex] &=(x^{\alpha -1}y^{\beta})(x^{-{\alpha}}y^{1-\beta} )\\[2ex] &=x^{\alpha -1}x^{-{\alpha}}y^{\beta}y^{1-\beta} \\[2ex] &=x^{\alpha -1-\alpha}y^{\beta+1-\beta} \\[2ex] &=x^{-1}y=\dfrac{p}{q}\\[2ex] &=右辺. \end{align*} したがって$y=\dfrac{p}{q}x$となって，これを$1$本目の式に戻すことで $x^{\alpha -1}\left(\dfrac{p}{q}x\right)^{\beta}= \left(\dfrac{p}{q}\right)^{\beta}x^{\alpha + \beta -1}=p$となる． ここからさらに計算を重ねて， $x=\left(p^{1-\beta}q^{\beta}\right)^{\frac{1}{\alpha +\beta -1}}$， $y=\left(p^{\alpha}q^{1-\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha +\beta -1}}$ を得る．
詳しい計算は次の通り：
$\left(\dfrac{p}{q}\right)^{\beta}x^{\alpha + \beta -1}=p$ から，
$x^{\alpha + \beta -1}=pp^{-\beta}q^{\beta}=p^{1-\beta}q^{\beta}$．
ゆえに，$x=\left(p^{1-\beta}q^{\beta}\right)^{\frac{1}{\alpha +\beta -1}}$．
さらに $y=\dfrac{p}{q}x$ なのだから，
$y=pq^{-1}\left(p^{1-\beta}q^{\beta}\right)^{\frac{1}{\alpha +\beta -1}}
=\left(p^{\frac{\alpha +\beta -1}{\alpha +\beta -1}}
p^{\frac{1-\beta}{\alpha +\beta -1}}
q^{-\frac{\alpha +\beta -1}{\alpha +\beta -1}}
q^{\frac{\beta}{\alpha +\beta -1}}\right)
=
\left(p^{\alpha}q^{1-\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha +\beta -1}}$
$ \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \lambda p={\alpha}L^{{\alpha}-1}{K}^{\beta} &(1)\\[2ex] \displaystyle \lambda q= {\beta}L^{\alpha}{K}^{{\beta}-1} &(2)\\[2ex] \displaystyle I=pL+q{K}&(3) \end{array} \right. $
変数は$L,K,\lambda$の$3$つであることに注意する．$(1)$と$(2)$の辺々を割り算する． \begin{align*} \dfrac{p}{q} &=\frac{\alpha}{\beta}\bigl(L^{\alpha-1}{K}^{\beta}\bigr) \bigl(L^{\alpha}{K}^{1-\beta} \bigr)^{-1}\\[2mm] &=\frac{\alpha}{\beta}\bigl(L^{\alpha-1}{K}^{\beta}\bigr) \bigl(L^{-\alpha}{K}^{1-\beta} \bigr)\\[2mm] &=\frac{\alpha}{\beta}\bigl(L^{\alpha-1}{L}^{-\alpha}\bigr) \bigl(K^{\beta}{K}^{1-\beta} \bigr)\\[2mm] &=\frac{\alpha}{\beta}L^{-1}K \end{align*} したがって$K=\dfrac{p\beta}{q\alpha}L$となって，これを$3$本目の式に代入すると，$pL+q\dfrac{p\beta}{q\alpha}L=\dfrac{\alpha + \beta}{\alpha}pL=I$ より，$L=\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta}\dfrac{I}{p}$．したがって $K=\dfrac{p\beta}{q\alpha}L= \dfrac{p\beta}{q\alpha}\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta}\dfrac{I}{p} =\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta}\dfrac{I}{q}$となる．$(1)$式から $\lambda = \dfrac{\alpha}{p} \left(\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta}\dfrac{I}{p}\right)^{\alpha-1} \left(\dfrac{\beta}{\alpha + \beta}\dfrac{I}{q}\right)^{\beta} =\dfrac{\alpha}{p} \left(\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta}\dfrac{I}{p}\right)^{-1} \left(\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta}\dfrac{I}{p}\right)^{\alpha} \left(\dfrac{\beta}{\alpha + \beta}\dfrac{I}{q}\right)^{\beta} =\dfrac{\alpha + \beta}{I} \left(\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta}\dfrac{I}{p}\right)^{\alpha} \left(\dfrac{\beta}{\alpha + \beta}\dfrac{I}{q}\right)^{\beta}$ となる．1．は『経出る』練習問題7.1の類題です．4．は『ワークブック』では同じ計算を例題7.4でやっています．