経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問 3.24

1. $y=\log_{2}{16}$とすると，対数の定義式から， \begin{align*} y=\log_{2}{16}& \Leftrightarrow 2^y=16\\[.5mm] & \Leftrightarrow 2^y=2^4\\[.5mm] & \Leftrightarrow y=4\\[.5mm] & \therefore\quad \log_{2}{16}=4 \end{align*}


2. $y=\log_{2}{\sqrt{2}}$とすると，対数の定義式から， \begin{align*} y=\log_{2}{\sqrt{2}}& \Leftrightarrow 2^y=\sqrt{2}\\[.5mm] & \Leftrightarrow 2^y=2^{\frac{1}{2}}\\[.5mm] & \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2}\\[.5mm] & \therefore\quad \log_{2}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2} \end{align*}


3. $y=\log_{2}{2\sqrt{2}}$とすると，対数の定義式から， \begin{align*} y=\log_{2}{2\sqrt{2}}& \Leftrightarrow 2^y=2\sqrt{2}\\[.5mm] & \Leftrightarrow 2^y=2^{\frac{3}{2}}\\[.5mm] & \Leftrightarrow y=\dfrac{3}{2}\\[.5mm] & \therefore\quad \log_{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3}{2} \end{align*}


4. $y=\log_{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$とすると，対数の定義式から， \begin{align*} y=\log_{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}& \Leftrightarrow (\sqrt{2})^y=2\sqrt{2}\\[.5mm] & \Leftrightarrow 2^{\frac{y}{2}}=2^{\frac{3}{2}}\\[.5mm] & \Leftrightarrow \dfrac{y}{2}=\dfrac{3}{2}\\[.5mm] & \Leftrightarrow y=3\\[.5mm] & \therefore\quad \log_{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=3 \end{align*}


5. $y=\log_{4}{16}$とすると，対数の定義式から， \begin{align*} y=\log_{4}{16}& \Leftrightarrow 4^y=16\\[.5mm] & \Leftrightarrow 4^y=4^2\\[.5mm] & \Leftrightarrow y=2\\[.5mm] & \therefore\quad \log_{4}{16}=2 \end{align*}


6. $y=\log_{\sqrt{2}}{2}$とすると，対数の定義式から， \begin{align*} y=\log_{\sqrt{2}}{2}& \Leftrightarrow (\sqrt{2})^y=2\\[.5mm] & \Leftrightarrow 2^{\frac{y}{2}}=2^1\\[.5mm] & \Leftrightarrow \dfrac{y}{2}=1\\[.5mm] & \Leftrightarrow y=2\\[.5mm] & \therefore\quad \log_{\sqrt{2}}{2}=2 \end{align*}


7. $y=\log_{3}{81}$とすると，対数の定義式から， \begin{align*} y=\log_{3}{81}& \Leftrightarrow 3^y=81\\[.5mm] & \Leftrightarrow 3^y=3^4\\[.5mm] & \Leftrightarrow y=4\\[.5mm] & \therefore\quad \log_{3}{81}=4 \end{align*}


8. $y=\log_{3}{3}$とすると，対数の定義式から， \begin{align*} y=\log_{3}{3}& \Leftrightarrow 3^y=3\\[.5mm] & \Leftrightarrow 3^y=3^1\\[.5mm] & \Leftrightarrow y=1\\[.5mm] & \therefore\quad \log_{3}{3}=1 \end{align*}


9. $y=\log_{3}{1}$とすると，対数の定義式から， \begin{align*} y=\log_{3}{1}& \Leftrightarrow 3^y=1\\[.5mm] & \Leftrightarrow 3^y=3^0\\[.5mm] & \Leftrightarrow y=0\\[.5mm] & \therefore\quad \log_{3}{1}=0 \end{align*}


10. $y=\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{8}}$とすると，対数の定義式から， \begin{align*} y=\log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{8}}& \Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{2}\right)^y=\sqrt{8}\\[.5mm] & \Leftrightarrow 2^{-y}=2^{\frac{3}{2}}\\[.5mm] & \Leftrightarrow y=-\dfrac{3}{2}\\[.5mm] & \therefore\quad \log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{8}}=-\dfrac{3}{2} \end{align*}


11. $y=\log_{0.1}{\sqrt{10}}$とすると，対数の定義式から， \begin{align*} y=\log_{0.1}{\sqrt{10}}& \Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{10}\right)^y=\sqrt{10}\\[.5mm] & \Leftrightarrow 10^{-y}=10^{\frac{1}{2}}\\[.5mm] & \Leftrightarrow y=-\dfrac{1}{2}\\[.5mm] & \therefore\quad y=\log_{0.1}{\sqrt{10}}=-\dfrac{1}{2} \end{align*}


12. $y=\log_{10}{\sqrt[3]{100}}$とすると，対数の定義式から， \begin{align*} y=\log_{10}{\sqrt[3]{100}}& \Leftrightarrow 10^y=\sqrt[3]{100}\\[.5mm] & \Leftrightarrow 10^{y}=10^{\frac{2}{3}}\\[.5mm] & \Leftrightarrow y=\dfrac{2}{3}\\[.5mm] & \therefore\quad y=\log_{10}{\sqrt[3]{100}}=\dfrac{2}{3} \end{align*}

本問で大事なのは，８．と９．一般に，$\log_{a}{a}=1$ と $\log_{a}{1}=0$ とが成り立つ．