経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問 4.14

1. $\displaystyle \lim_{t \to \infty} \dfrac{t^2+2t+1}{t^2} =\lim_{t \to \infty} \left(1+\dfrac{2}{t}+\dfrac{1}{t^2}\right)=1$


2. $\displaystyle \lim_{t \to \infty} \dfrac{3^{t+1}-2^t}{1-3^t} =\lim_{t \to \infty} \dfrac{3-\left(\dfrac{2}{3}\right)^t} {\left(\dfrac{1}{3}\right)^t-1}=\dfrac{3-0}{0-1}=-3$


3. $\displaystyle \lim_{t \to \infty} \dfrac{1-\left(\dfrac{1+g}{1+r}\right)^t}{1-\dfrac{1+g}{1+r}} =\dfrac{1}{\dfrac{r-g}{1+r}}=\dfrac{1+r}{r-g}$ （ただし $g < r$ すなわち $1+g < 1+r$ の時）．


4. $\displaystyle \lim_{t \to \infty} a_t = \alpha $ とする． $\displaystyle \lim_{t \to \infty} a_{t+1} = \lim_{t \to \infty} \sqrt{6+a_t} \Leftrightarrow \alpha = \sqrt{6+\alpha} \Leftrightarrow {\alpha}^2 = 6+\alpha \Leftrightarrow (\alpha +2)(\alpha -3)=0$．$\alpha > 0$ なので， $\alpha =3$．