経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問 4.27

1. \[ \begin{array}{r@{\;}c@{\;}l} a_{t+1} &=&\dfrac{1}{3}a_t+2\\ - \ ) \qquad a&=&\dfrac{1}{3}a+2\\\hline a_{t+1}-a&=&\dfrac{1}{3}(a_t-a) \end{array} \] したがって，$a_{t}-a=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{t-1}(a_1-a)$． $a=\dfrac{1}{3}a+2$ より，$a=3$．$a_1=6$ なので， $a_t=3\left(\dfrac{1}{3}\right)^{t-1}+3$


2. \[ \begin{array}{r@{\;}c@{\;}l} b_{t+1} &=&3b_t+2\\ - \ ) \qquad b&=&3b+2\\\hline b_{t+1}-b&=&3(b_t-b) \end{array} \] したがって，$b_{t}-b=\left(3\right)^{t-1}(b_1-b)$． $b=3b+2$ より，$b=-1$．$b_1=1$ なので， $b_t=2(3^{t-1})-1$