経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問 4.28

1. \[ \begin{array}{|c||c|c|c|} \hline 時間軸& CF & DF & PV \\ \hline 第0年&-100 & {\delta}=\dfrac{1}{\bigl(1+r\bigr)^0}& -100\\ \hline 第1年&10 & {\delta}=\dfrac{1}{\bigl(1+r\bigr)^1}& \dfrac{10}{\bigl(1+r\bigr)^1}\\ \hline 第2年&100+10 & {\delta}=\dfrac{1}{\bigl(1+r\bigr)^2}& \dfrac{110}{\bigl(1+r\bigr)^2}\\ \hline \end{array} \] 右列の総和=0から， \[ 0=-100+\dfrac{10}{\bigl(1+r\bigr)^1}+\dfrac{110}{\bigl(1+r\bigr)^2} \] $1+r=x$ とおき，上式を書き換えると \[ 100x^2-10x-110=0. \] 解の公式から計算すると， \begin{align} x&=\dfrac{10+\sqrt{10^2-4\times 100 \times (-110)}}{2\times 100}\\ &=\dfrac{10+\sqrt{44100}}{200}=\dfrac{10+\sqrt{(210)^2}}{200}=1.1 \end{align} なので，$r=0.1=10\%$．解の公式によらなくても， 因数分解 $100x^2-10x-110=(100x-110)(x+1)$ からもあきらか．

   例題4.23が本問の理論的裏付け．



2. \[ \begin{array}{|c||c|c|c|} \hline 時間軸& CF & DF & PV \\ \hline 第0年&-95 & {\delta}=\dfrac{1}{\bigl(1+r\bigr)^0}& -95\\ \hline 第1年&5 & {\delta}=\dfrac{1}{\bigl(1+r\bigr)^1}& \dfrac{5}{\bigl(1+r\bigr)^1}\\ \hline 第2年&100+5 & {\delta}=\dfrac{1}{\bigl(1+r\bigr)^2}& \dfrac{105}{\bigl(1+r\bigr)^2}\\ \hline \end{array} \] 右列の総和=0から， \[ 0=-95+\dfrac{5}{\bigl(1+r\bigr)^1}+\dfrac{105}{\bigl(1+r\bigr)^2} \] $1+r=x$ とおき，上式を書き換えると \[ 95x^2-5x-105=0. \] 解の公式から計算すると， \begin{align} x&=\dfrac{5+\sqrt{5^2-4\times 95 \times (-105)}}{2\times 95}\\ &=\dfrac{5+\sqrt{39925}}{190}=1.0779 \end{align} なので，$r=0.0779=7.79\%$．


3. \[ \begin{array}{|c||c|c|c|} \hline 時間軸& CF & DF & PV \\ \hline 第0年&-80 & {\delta}=\dfrac{1}{\bigl(1+r\bigr)^0}& -80\\ \hline 第1年&0 & {\delta}=\dfrac{1}{\bigl(1+r\bigr)^1}& \dfrac{0}{\bigl(1+r\bigr)^1}\\ \hline 第2年&100 & {\delta}=\dfrac{1}{\bigl(1+r\bigr)^2}& \dfrac{100}{\bigl(1+r\bigr)^2}\\ \hline \end{array} \] 右列の総和=0から， \[ 0=-80+0+\dfrac{100}{\bigl(1+r\bigr)^2} \] $1+r=x$ とおき，上式を書き換えると \[ 80x^2-100=0. \] \begin{align} x&=\sqrt{\dfrac{100}{80}}\\ &=1.1180 \end{align} なので，$r=0.1180=11.80\%$．

（２）の本紙の解答例では，ぶっきらぼうに，あやまった値【5.16％】が記載されていたが，うっかりミス．利回りが $5.16\%$ になるような価格は，

ちなみにうっかりミスの原因は次の計算． $\dfrac{\sqrt{39925}}{190}\approx1.0516$