経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：問4.29解答例
本問は『経出る』練習問題4.7（pp.107-108）の別解でもある．
【解答 4.29】
市場利子率 $r$ ，クーポンレート $r$ ，額面 $F$ ，償還期間 $T$ の利付債の割引現在価値 $PV$ は
\begin{eqnarray}
PV&=&\dfrac{rF}{1+r}+\dfrac{rF}{(1+r)^2}+\cdots + \dfrac{rF+F}{(1+r)^T}\\
&=&\dfrac{rF}{1+r}+\dfrac{rF}{(1+r)^2}+\cdots + \dfrac{rF}{(1+r)^T}+\dfrac{F}{(1+r)^T}
\end{eqnarray}
ここで，$S=\dfrac{rF}{1+r}+\dfrac{rF}{(1+r)^2}+\cdots + \dfrac{rF}{(1+r)^T}$ とし，$(1+r)S-S$ を計算すると，
\[
\begin{array}{crcccccccccccc}
&(1+r)S&=&rF&+&\dfrac{rF}{1+r}&+&\dfrac{rF}{(1+r)^2}&+&\cdots&+&\dfrac{rF}{(1+r)^{T-1}}&&\\
- \ ) & S&=&&&\dfrac{rF}{1+r}&+&\dfrac{rF}{(1+r)^2}&+&\cdots&+&\dfrac{rF}{(1+r)^{T-1}}&+&\dfrac{rF}{(1+r)^{T}}\\\hline
&rS&=&rF&&&&&&&&&-&\dfrac{rF}{(1+r)^{T}}
\end{array}
\]
ゆえに $S=F-\dfrac{F}{(1+r)^{T}}$ となり，$PV=S+\dfrac{F}{(1+r)^{T}}
=F-\dfrac{F}{(1+r)^{T}}+\dfrac{F}{(1+r)^{T}}=F$ ，すなわち，割引現在価値は償還額と等しくなる．
【問 4.29終わり】
【別解】$S=\dfrac{rF}{1+r}+\dfrac{rF}{(1+r)^2}+\cdots + \dfrac{rF}{(1+r)^T}$ は，初項$\dfrac{rF}{1+r}$，公比$\dfrac{1}{1+r}$ の等比数列の和．従って等比数列の和の公式から，
\[
S=\dfrac{rF}{1+r}\times\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{1+r}\right)^T}{1-\dfrac{1}{1+r}}
=\dfrac{rF}{1+r}\times\dfrac{1+r}{r}\times \left( 1-\dfrac{1}{(1+r)^T}\right)
=F-\dfrac{F}{(1+r)^{T}}.
\]
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