経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問 5.12

1. $\left(x^5-4x\right)^{\prime}=5x^4-4$


2. $\left(x^3-x^2\right)^{\prime}=3x^2-2x$


3. $\left(4x^3\right)^{\prime}=4\times 3x^2=12x^2$


4. $y^{\prime}=-2x+9$


5. $f^{\prime}(x)=3x^2-3\times 2x-9=3x^2-6x-9$


6. $f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{3}\times 3x^2+2\times 2x+45=-x^2+4x+45$


7. $f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{3}\times 3x^2+2\times 2x+12=-x^2+4x+12$


8. $f^{\prime}(x)=-3x^2+2\times 2x+4=-3x^2+4x+4$


9. $f(x)=x^4+x^2$ なので，$f^{\prime}(x)=4x^3+2x$


10. $f(x)=x^4+4x^2+4$ なので，$f^{\prime}(x)=4x^3+4\times 2x=4x^3+8x$

後に$1$階条件を使うことを見越せば，因数分解できるものはしたほうがよい．

1. $5x^4-4=5\left(x^4-\dfrac{4}{5}\right) =5\left(x^2+\sqrt{\dfrac{4}{5}}\right)\left(x^2-\sqrt{\dfrac{4}{5}}\right) =5\left(x^2+\sqrt{\dfrac{4}{5}}\right)\left(x+\sqrt[4]{\dfrac{4}{5}}\right)\left(x-\sqrt[4]{\dfrac{4}{5}}\right)$


2. $3x^2-2x=3x\left(x-\dfrac{2}{3}\right)$


3. $12x^2$ はまんま（笑）


4. $-2x+9=-2\left(x-\dfrac{9}{2}\right)$


5. $3x^2-6x-9=3\left(x^2-2x-3\right)=3(x+1)(x-3)$


6. $-x^2+4x+45=-\left(x^2-4x-45\right)=-(x+5)(x-9)$


7. $-x^2+4x+12=-\left(x^2-4x-12\right)=-(x+2)(x-6)$


8. $-3x^2+4x+4=-\left(3x^2-4x-4\right)-(3x+2)(x-2)$


9. $4x^3+2x=4x\left(x^2+\dfrac{1}{2}\right)$


10. $4x^3+8x=4x\left(x^2+2\right)$