経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問 5.16

1. 損益分岐点での生産量は $MC(x)=AC(x)$ を解けばよい． \begin{align} MC(x)&=3x^2-4x+5\\[2ex] AC(x)&=\dfrac{x^3-2x^2+5x+8}{x}=x^2-2x+5+\dfrac{8}{x}. \end{align} であるので， \begin{align} 3x^2-4x+5&=x^2-2x+5+\dfrac{8}{x}\\[2ex] 3x^3-4x^2+5x&=x^3-2x^2+5x+8\\[2ex] 2x^3-2x^2-8&=0\\[2ex] 2(x-2)\left(x^2+x+2\right)&=0 \end{align} と変形できるので，損益分岐点での生産量は，$x=2$，損益分岐点価格は $p=AC(2)=2^2-2\times 2+5+\dfrac{8}{2}=9$ である．


2. 操業停止点での生産量は $MC(x)=AVC(x)$ を解けばよい． \begin{align} MC(x)&=3x^2-4x+5\\[2ex] AVC(x)&=\dfrac{x^3-2x^2+5x}{x}=x^2-2x+5. \end{align} であるので， \begin{align} 3x^2-4x+5&=x^2-2x+5\\[2ex] 2x^2-2x&=0\\[2ex] 2x(x-1)&=0 \end{align} と変形できるので，操業停止点での生産量は，$x=1$，操業停止点価格は $p=AVC(1)=1^2-2\times 1+5=4$ である．