経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問 5.8

1. $q=a-bp \Longleftrightarrow p=-\dfrac{1}{b}q+\dfrac{a}{b}$ なので，逆需要関数は $P(q)=-\dfrac{1}{b}q+\dfrac{a}{b}$．


2. $D^{\prime}(p)=-b$ なので，需要の価格弾力性は $e_d(p)=D^{\prime}(p)\dfrac{p}{D(p)}=-b\dfrac{p}{a-bp}=\dfrac{-bp}{a-bp}$．


3. 収入 $R(q)=P(q)q=\left(-\dfrac{1}{b}q+\dfrac{a}{b}\right)q =-\dfrac{1}{b}q^2+\dfrac{a}{b}q$ なので，$1$階条件は $-\dfrac{2}{b}q+\dfrac{a}{b}=0$ より $q=\dfrac{a}{2}$．


4. 利潤 ${\pi}(q)=R(q)-C(q)=-\dfrac{1}{b}q^2+\dfrac{a}{b}q-q^2$ なので，$1$階条件は $-\left(\dfrac{2}{b}+2\right)q+\dfrac{a}{b}=0$ より $q=\dfrac{a}{2(b+1)}$．

収入最大のときの需要の価格弾力性の値を調べる．$q=\dfrac{a}{2}$ のとき， $p=-\dfrac{1}{b}\times \dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{2b}$． したがって，2.の結果から， $\displaystyle e_d(p)=\frac{-b\times \dfrac{a}{2b}}{a-b\times \dfrac{a}{2b}} =\dfrac{-\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{2}}=-1$ となり，その絶対値は $1$ となる．

一般に，収入 $R(p)=D(p)p$ の$1$階条件を求めると，（5.3節で学ぶ積の公式を使えば）$R^{\prime}(p)=D(p)+D^{\prime}(p)p =D(p)\left(1+D^{\prime}(p)\dfrac{p}{D(p)}\right)=D(p)\left(1+e_d(p)\right)=0$ から， $\left|e_d(p)\right|=1$ となる．