経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問6.14解答例

大学4年生のときにおそわった古川長太先生の講義ノートから．

数学的帰納法による．

1. $N=2$ のとき $A$ が凸だから，凸集合の定義より自明．
2. $N-1$個の任意の凸結合

$x_i\in A$，$0 \leq {\alpha}_i \leq 1$，$i=1,2,\ldots , N-1$， ${\alpha}_1+{\alpha}_2+\cdots +{\alpha}_{N-1}=1$に対し \[ {\alpha}_1x_1+{\alpha}_2x_2+\cdots + {\alpha}_{N-1}x_{N-1}\in A \tag{1} \] の成立を仮定する（帰納法の仮定）．

3. $N$個の凸結合

次式の変形を行う．

\[ {\alpha}_1x_1+\cdots +{\alpha}_Nx_N=({1-{\alpha}_N}) \left(\dfrac{{\alpha}_1x_1+\cdots +{\alpha}_{N-1}x_{N-1}}{1-{\alpha}_N}\right)+{\alpha}_Nx_N　\tag{2} \]

${\alpha}_1+\cdots +{\alpha}_{N-1}=1-{\alpha}_N$だから $\dfrac{{\alpha}_1+\cdots +{\alpha}_{N-1}}{1-{\alpha}_N}=1$，すなわち $\dfrac{{\alpha}_1x_1+\cdots +{\alpha}_{N-1}x_{N-1}}{1-{\alpha}_N}$は凸結合．帰納法の仮定(1)より$A$に含まれる．(2)式は$A$に含まれる２元の凸結合であることをしめしているので，やはり$A$に含まれる．

【註】第３ステップで ${\alpha}_N=1$ のときを場合分けしなければいけないが，それは明らかなので省略した．