経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問6.19解答例

1. $\begin{pmatrix}2\\ -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-2\\ 1 \end{pmatrix} =2\times (-2)+(-1)\times 1=-4-1=-5$，
   $\left|\begin{pmatrix}2\\ -1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$，
   $\left|\begin{pmatrix}-2\\ 1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}$，
   $\cos{\theta}=\dfrac{-5}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=-1$


2. $\begin{pmatrix}2\\ -3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3\\ 2 \end{pmatrix} =2\times 3+(-3)\times 2=6-6=0$，より $\cos{\theta}=0$．


3. $\begin{pmatrix}-2\\ 3\\ -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} =(-2)\times (-2)+3\times 3+(-1)\times(-1)=4+9+1=14$，
   
   $\left|\begin{pmatrix}-2\\ 3\\ -1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{14}$，
   
   $\left|\begin{pmatrix}-2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{14}$，
   $\cos{\theta}=\dfrac{14}{\sqrt{14}\times\sqrt{14}}=1$．


4. $\begin{pmatrix}2\\ 3\\ -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} =2\times (-2)+3\times 2+(-1)\times 2=-4+6-2=0$，より $\cos{\theta}=0$．


5. $\begin{pmatrix}2\\ -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$　次数が違うので計算できない．


6. $\begin{pmatrix}2\\5 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\7 \end{pmatrix} =2\times (-2)+5\times 1+(-1)\times 7=-4+5-7=-6$，
   
   $\left|\begin{pmatrix}2\\ 5\\ -1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{2^2+5^2+(-1)^2}=\sqrt{30}$，
   
   $\left|\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+1^2+7^2}=\sqrt{54}$，
   $\cos{\theta}=\dfrac{-6}{\sqrt{30}\times\sqrt{54}}=\dfrac{-1}{3\sqrt{5}}$．