経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問6.21解答例

$p=\begin{pmatrix}p_1\\ p_2 \end{pmatrix}$，$x=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \end{pmatrix}$ に対し， \[ p\cdot x=I \Longleftrightarrow p_1x_1+p_2x_2=I \tag{＃} \]

1. $\left(\dfrac{I}{p_1}, 0\right)$ を代入すると， $p_1\times \dfrac{I}{p_1}+p_2\times 0=I$ となり，（＃）が成立する．


2. $\left(0,\dfrac{I}{p_2}\right)$ を代入すると， $p_1\times 0+p_2\times \dfrac{I}{p_2}=I$ となり，（＃）が成立する．


3. $a=\begin{pmatrix}\dfrac{I}{p_1}\\ 0\end{pmatrix}， b=\begin{pmatrix}0\\ \dfrac{I}{p_2}\end{pmatrix} $ より， $a-b=\begin{pmatrix}\dfrac{I}{p_1}\\ -\dfrac{I}{p_2}\end{pmatrix}$． したがって， \[ p\cdot (a-b)=p_1\times \dfrac{I}{p_1} +p_2\times \dfrac{-I}{p_2}=I-I=0. \] 内積が $0$ であるので，$p\perp (a-b)$．


4. 原点を通り，$p$ と直交する直線を表す．