経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問6.22解答例

$p=\begin{pmatrix}p_1\\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}$， $x=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}$ に対し， \[ p\cdot x=I \Longleftrightarrow p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3=I \tag{♡} \]

1. $\left(\dfrac{I}{p_1}, 0, 0\right)$ を代入すると， $p_1\times \dfrac{I}{p_1}+p_2\times 0+p_3\times 0=I$ となり，（♡）が成立する．


2. $\left(0,\dfrac{I}{p_2}, 0\right)$ を代入すると， $p_1\times 0+p_2\times \dfrac{I}{p_2}+p_3\times 0=I$ となり，（♡）が成立する．


3. $\left(0, 0, \dfrac{I}{p_3}\right)$ を代入すると， $p_1\times 0+p_2\times 0+p_3\times \dfrac{I}{p_3}=I$ となり，（♡）が成立する．


4. $a=\begin{pmatrix}\dfrac{I}{p_1}\\ 0 \\0\end{pmatrix} ， b=\begin{pmatrix}0\\ \dfrac{I}{p_2} \\0\end{pmatrix} , c=\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ \dfrac{I}{p_3}\end{pmatrix} , $ より， $a-b=\begin{pmatrix}\dfrac{I}{p_1}\\ -\dfrac{I}{p_2} \\0\end{pmatrix}$, $b-c=\begin{pmatrix}0\\ \dfrac{I}{p_2}\\ -\dfrac{I}{p_3}\end{pmatrix}$． $c-a=\begin{pmatrix}-\dfrac{I}{p_1}\\ 0\\ \dfrac{I}{p_3}\end{pmatrix}$したがって， \begin{align} p\cdot (a-b)&=p_1\times \dfrac{I}{p_1} +p_2\times \dfrac{-I}{p_2}+p_3\times 0=I-I+0=0,\\ p\cdot (b-c)&=p_1\times 0 +p_2\times \dfrac{I}{p_2}+p_3\times \dfrac{-I}{p_2}=0+I-I=0,\\ p\cdot (c-a)&=p_1 \times \dfrac{-I}{p_1} +p_2\times 0+p_3\times \dfrac{I}{p_3}=-I+0+I=0. \end{align} 内積が $0$ であるので，$p\perp (a-b)$，$p\perp (b-c)$，$p\perp (c-a)$．


5. 原点を通り，$p$ と直交する平面を表す．