経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.10解答例

• 制約式を移項して，左辺が関数の形になるよう書きかえる． $g(x,y)=2x+3y-30=0$


• 偏微分して，ならべて，おまじないの $\times \lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ の上に書く． \[ \begin{array}{cc} &\times\lambda\\ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =1+x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=2\\[2ex] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}}+1 & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=3\\[2ex] \end{array} \]


• おまじないの $\lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ にかけ込んで $0,=,-$ で式の間をつなぐ．制約式も忘れずに加える．これで $3$ 変数の連立方程式が計 $2+1=3$ 個できる． \[ \left\{ \begin{array}{ll} 0=1+x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} - 2\lambda &\qquad (1)\\[1ex] 0=x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}}+1 - 3\lambda &\qquad (2)\\[1ex] 0=2x+3y-30&\qquad (3) \end{array} \right. \]


• 勇気を出してこの連立方程式を作ってさえしまえば，あとは解くだけ． $(1)\times 3-(2)\times 2$をつくると， $3x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+1-2x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}}=0$． 因数分解すると，$\left(3x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}-2\right) \left(1+x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}}\right)=0$． $3x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}-2=0$ から，$y=\dfrac{4}{9}x$． これを$(3)$に代入して $2x+\dfrac{4}{3}x-30=0$． ゆえに$x=9, y=4$と求まる． 以上より，最適解は$(x,y)=(9,4)$．