経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.11解答例

• 問題は， \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \min_{K,L}& C(K,L)=2K+54L\\[2ex] \mbox{s.t.}& g(K,L)=K^{\frac{1}{3}}L^{\frac{1}{3}}-12=0 \end{array} \]


• 偏微分して，ならべて，おまじないの $\times \lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ の上に書く． \[ \begin{array}{cc} &\times\lambda\\ \displaystyle \frac{\partial C}{\partial K}(K,L) =2 & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial K}(K,L)= \dfrac{1}{3}K^{-\frac{2}{3}}L^{\frac{1}{3}}\\[2ex] \displaystyle \frac{\partial C}{\partial L}(K,L) =54 & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial L}(K,L)= \dfrac{1}{3}K^{\frac{1}{3}}L^{-\frac{2}{3}}\\[2ex] \end{array} \]


• おまじないの $\lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ にかけ込んで $0,=,-$ で式の間をつなぐ．制約式も忘れずに加える．これで $3$ 変数の連立方程式が計 $2+1=3$ 個できる． \[ \left\{ \begin{array}{ll} 0=2- \dfrac{\lambda}{3}K^{-\frac{2}{3}}L^{\frac{1}{3}}&\qquad (1)\\[1ex] 0=54- \dfrac{\lambda}{3}K^{\frac{1}{3}}L^{-\frac{2}{3}}&\qquad (2)\\[1ex] 0=K^{\frac{1}{3}}L^{\frac{1}{3}}-12&\qquad (3) \end{array} \right. \]


• 勇気を出してこの連立方程式を作ってさえしまえば，あとは解くだけ． $(1)$ と $(2)$を移項して辺々割り算を行う． $KL^{-1}=27$ より $K=27L$． これを$(3)$に代入して $\left(27L\right)^{\frac{1}{3}}L^{\frac{1}{3}}-12= 3L^{\frac{2}{3}}-12=0$． ゆえに$L=8, K=216$と求まる． 以上より，最適解は$(K,L)=(216,8)$．


【問 7.11 終わり】

---

解答例一覧へ