経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.12解答例

• 問題は， \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \min_{K,L}& C(K,L)=3K+16L\\[2ex] \mbox{s.t.}& g(K,L)=K^{\frac{3}{4}}L^{\frac{1}{4}}-40=0 \end{array} \]


• 偏微分して，ならべて，おまじないの $\times \lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ の上に書く． \[ \begin{array}{cc} &\times\lambda\\ \displaystyle \frac{\partial C}{\partial K}(K,L) =3 & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial K}(K,L)= \dfrac{3}{4}K^{-\frac{1}{4}}L^{\frac{1}{4}}\\[2ex] \displaystyle \frac{\partial C}{\partial L}(K,L) =16 & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial L}(K,L)= \dfrac{1}{4}K^{\frac{3}{4}}L^{-\frac{3}{4}}\\[2ex] \end{array} \]


• おまじないの $\lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ にかけ込んで $0,=,-$ で式の間をつなぐ．制約式も忘れずに加える．これで $3$ 変数の連立方程式が計 $2+1=3$ 個できる． \[ \left\{ \begin{array}{ll} 0=3- \dfrac{3\lambda}{4}K^{-\frac{1}{4}}L^{\frac{1}{4}}&\qquad (1)\\[1ex] 0=16- \dfrac{\lambda}{4}K^{\frac{3}{4}}L^{-\frac{3}{4}}&\qquad (2)\\[1ex] 0=K^{\frac{3}{4}}L^{\frac{1}{4}}-40&\qquad (3) \end{array} \right. \]


• 勇気を出してこの連立方程式を作ってさえしまえば，あとは解くだけ． $(1)$ と $(2)$を移項して辺々割り算を行う． $K^{-1}L=\dfrac{1}{16}$ より $L=\dfrac{1}{16}K$． これを$(3)$に代入して $K^{\frac{3}{4}}\left(\dfrac{1}{16}K\right)^{\frac{1}{4}}-40= \dfrac{1}{2}K-40=0$． ゆえに$K=80, L=5$と求まる． 以上より，最適解は$(K,L)=(80,5)$．