経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.13解答例

• 問題は， \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \min_{x,y}& f(x,y)=4x+20y\\[2ex] \mbox{s.t.}& g(x,y)=xy-500=0 \end{array} \]


• 偏微分して，ならべて，おまじないの $\times \lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ の上に書く． \[ \begin{array}{cc} &\times\lambda\\ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=4 & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=y\\[2ex] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=20 & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=x\\[2ex] \end{array} \]


• おまじないの $\lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ にかけ込んで $0,=,-$ で式の間をつなぐ．制約式も忘れずに加える．これで $3$ 変数の連立方程式が計 $2+1=3$ 個できる． \[ \left\{ \begin{array}{ll} 0=\displaystyle 4 - \lambda y&\qquad (1)\\[1ex] 0=\displaystyle 20 - \lambda x&\qquad (2)\\[1ex] 0=xy-500&\qquad (3) \end{array} \right. \]


• 勇気を出してこの連立方程式を作ってさえしまえば，あとは解くだけ． $(1)$ と $(2)$ を移項して，辺々割り算すると，$\dfrac{x}{y}=5$から$x=5y$． これを$(3)$に代入して $5y^2 -500=0$から$y^2 =100$． ゆえに$y=10, x=50$と求まる． 以上より，最適解は$(x,y)=(50,10)$．