経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.14解答例

• 問題は， \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \min_{x,L}& u(x,L)=x(12-L)\\[2ex] \mbox{s.t.}& g(x,y)=10x-20L=0 \end{array} \]


• 偏微分して，ならべて，おまじないの $\times \lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ の上に書く． \[ \begin{array}{cc} &\times\lambda\\ \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(x,L)=12-L & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}(x,L)=10\\[2ex] \displaystyle \frac{\partial u}{\partial L}(x,L)=-x & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial L}(x,y)=-20\\[2ex] \end{array} \]


• おまじないの $\lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ にかけ込んで $0,=,-$ で式の間をつなぐ．制約式も忘れずに加える．これで $3$ 変数の連立方程式が計 $2+1=3$ 個できる． \[ \left\{ \begin{array}{ll} 0=\displaystyle 12-L - 10\lambda &\qquad (1)\\[1ex] 0=\displaystyle -x +20 \lambda &\qquad (2)\\[1ex] 0=10x-20L&\qquad (3) \end{array} \right. \]


• 勇気を出してこの連立方程式を作ってさえしまえば，あとは解くだけ． $(1)\times 2 +(2)$ をつくると，$24-2L-x=0$ なので，$x=24-2L$． これを$(3)$に代入して $240-20L-20L=0$から$L =6, x=12$． と求まる． 以上より，最適解は$(x,L)=(12,6)$．