経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.15解答例

• 【Step1】ラグランジュ関数を作ると， $ {\cal{L}}(L,K,\lambda)=wL+rK+\lambda\left(x-L^{\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}}\right). $


• 【Step2】 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{array}{lll} 0=\displaystyle \frac{\partial\cal{L}}{\partial L} =\displaystyle w - \frac{\lambda}{2}L^{-\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}} & \displaystyle\rightarrow w= \frac{\lambda}{2}L^{-\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}} &\qquad (1)\\[2ex] 0=\displaystyle \frac{\partial\cal{L}}{\partial K} =\displaystyle r - \frac{\lambda}{2}L^{\frac{1}{2}}K^{-\frac{1}{2}} & \displaystyle\rightarrow r=\frac{\lambda}{2}L^{\frac{1}{2}}K^{-\frac{1}{2}} &\qquad (2)\\[2ex] 0=x-L^{\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}}& & \qquad (3) \end{array} \right. \]


• 【Step3】 あとは工夫して解く． $(1)\div (2)$を辺々で行う．右辺の変形に指数法則をうまく使う． \begin{align*} \displaystyle \frac{w}{r} &=\bigl(L^{-\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}}\bigr) \bigl(L^{\frac{1}{2}}K^{-\frac{1}{2}}\bigr)^{-1}\\ &=\bigl(L^{-\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}}\bigr) \bigl(L^{-\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}}\bigr)\\ &=L^{-1}K=\frac{K}{L} \end{align*} ゆえに$ K=\dfrac{w}{r}L$となる．これを$(3)$式に代入すると， $\displaystyle x-L^{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{w}{r}L\right)^{\frac{1}{2}}=0$から， $L=\left(\dfrac{r}{w}\right)^{\frac{1}{2}}x$を得る． また，$K=\dfrac{w}{r}\left(\dfrac{r}{w}\right)^{\frac{1}{2}}x= \left(\dfrac{w}{r}\right)^{\frac{1}{2}}x$． 最適解は$\displaystyle (L,K)= \left(\left(\dfrac{r}{w}\right)^{\frac{1}{2}}x, \left(\dfrac{w}{r}\right)^{\frac{1}{2}}x\right)$となる．


• 　最適値関数は \begin{align} C(w,r,x)&=w\left(\dfrac{r}{w}\right)^{\frac{1}{2}}x +r\left(\dfrac{w}{r}\right)^{\frac{1}{2}}x\\ &=(wr)^{\frac{1}{2}}x+(rw)^{\frac{1}{2}}x\\ &=2(wr)^{\frac{1}{2}}x. \end{align}