経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.16解答例

• 【Step1】ラグランジュ関数を作ると， $ {\cal{L}}(x,L,K,\lambda)=px-(wL+rK)+\lambda\left(x-L^{\frac{1}{3}}K^{\frac{1}{3}}\right). $


• 【Step2】 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{array}{lll} 0=\displaystyle \frac{\partial\cal{L}}{\partial x} = p + \lambda & \displaystyle\rightarrow p= -\lambda &\qquad (1)\\[2ex] 0=\displaystyle \frac{\partial\cal{L}}{\partial L} =\displaystyle -w - \frac{\lambda}{3}L^{-\frac{2}{3}}K^{\frac{1}{3}} & \displaystyle\rightarrow w= -\frac{\lambda}{3}L^{-\frac{2}{3}}K^{\frac{1}{3}} &\qquad (2)\\[2ex] 0=\displaystyle \frac{\partial\cal{L}}{\partial K} =\displaystyle -r - \frac{\lambda}{3}L^{\frac{1}{3}}K^{-\frac{2}{3}} & \displaystyle\rightarrow r=-\frac{\lambda}{3}L^{\frac{1}{3}}K^{-\frac{2}{3}} &\qquad (3)\\[2ex] 0=x-L^{\frac{1}{3}}K^{\frac{1}{3}}& & \qquad (4) \end{array} \right. \]


• 【Step3】 あとは工夫して解く．$p=-\lambda$ を $(2), (3)$に代入すると， \begin{align*} \displaystyle w &=\frac{p}{3}L^{-\frac{2}{3}}K^{\frac{1}{3}}\\ r&=\frac{p}{3}L^{\frac{1}{3}}K^{-\frac{2}{3}} \end{align*} \begin{align*} \displaystyle w^2r &=\left(\frac{p}{3}L^{-\frac{2}{3}}K^{\frac{1}{3}}\right)^2 \left(\frac{p}{3}L^{\frac{1}{3}}K^{-\frac{2}{3}}\right) =\dfrac{p^3}{27}L^{-1}\Longrightarrow L=\dfrac{p^3}{27w^2r}\\ wr^2&=\left(\frac{p}{3}L^{-\frac{2}{3}}K^{\frac{1}{3}}\right) \left(\frac{p}{3}L^{\frac{1}{3}}K^{-\frac{2}{3}}\right)^2 =\dfrac{p^3}{27}K^{-1}\Longrightarrow K=\dfrac{p^3}{27wr^2} \end{align*} これを$(3)$式に代入すると， $x=\left(\dfrac{p^3}{27wr^2}\right)^{\frac{1}{3}} \left(\dfrac{p^3}{27w^2r}\right)^{\frac{1}{3}} =\dfrac{p^2}{9wr}$を得る． 最適解は$\displaystyle (x,L,K)= \left(\dfrac{p^2}{9wr}, \dfrac{p^3}{27w^2r}, \dfrac{p^3}{27wr^2} \right)$となる．