経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.18解答例

• 【Step1】ラグランジュ関数を作ると， $ {\cal{L}}(x_1,x_2,x_3,\lambda)=x_1x_2x_3+\lambda\left(a-x_1-x_2-x_3\right). $


• 【Step2】 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{array}{lll} 0=\displaystyle \frac{\partial\cal{L}}{\partial x_1} =x_2x_3-\lambda & \rightarrow \lambda= x_2x_3 &\qquad (1)\\[2ex] 0=\displaystyle \frac{\partial\cal{L}}{\partial x_2} =x_1x_3-\lambda & \rightarrow \lambda= x_1x_3 &\qquad (2)\\[2ex] 0=\displaystyle \frac{\partial\cal{L}}{\partial x_3} =x_1x_2-\lambda & \rightarrow \lambda= x_1x_2 &\qquad (3)\\[2ex] 0=a-x_1-x_2-x_3& & \qquad (4) \end{array} \right. \]


• 【Step3】 あとは工夫して解く． $(1)=(2)$から$x_3(x_2-x_1)=0$．$(1)=(3)$から$x_2(x_3-x_1)=0$．$(2)=(3)$から$x_1(x_3-x_2)=0$． ゆえに，$x_1>0,x_2>0,x_3>0$ となるのは，$(x_1,x_2,x_3)=\left(\dfrac{a}{3},\dfrac{a}{3},\dfrac{a}{3}\right)$．