経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.20解答例

• 【Step1】ラグランジュ関数を作ると， $ {\cal{L}}(x_1,x_2,x_3,\lambda)={\alpha}\log_{}{x_1}+{\beta}\log_{}{x_2}+{\gamma}\log_{}{x_3}+\lambda\left(I-p_1x_1-p_2x_2-p_3x_3\right). $


• 【Step2】 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{array}{lll} 0=\displaystyle \frac{\partial\cal{L}}{\partial x_1} =\dfrac{\alpha}{x_1}-{\lambda}p_1 & \rightarrow p_1x_1=\dfrac{\alpha}{{\lambda}} &\qquad (1)\\[2ex] 0=\displaystyle \frac{\partial\cal{L}}{\partial x_2} =\dfrac{\beta}{x_2}-{\lambda}p_2 & \rightarrow p_2x_2=\dfrac{\beta}{{\lambda}} &\qquad (2)\\[2ex] =\dfrac{\gamma}{x_3}-{\lambda}p_3 & \rightarrow p_3x_3=\dfrac{\gamma}{{\lambda}} &\qquad (3)\\[2ex] 0=I-p_1x_1-p_2x_2-p_3x_3& & \qquad (4) \end{array} \right. \]


• 【Step3】 あとは工夫して解く．
  • $(1), (2), (3)$ を $(4)$ に代入すると， $\dfrac{\alpha}{\lambda}+\dfrac{\beta}{\lambda}+\dfrac{\gamma}{\lambda}=I \Longrightarrow \lambda=\dfrac{\alpha + \beta +\gamma}{I}$
  
  
  • $(1)$ から，$x_1=\dfrac{\alpha}{p_1\lambda} =\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_1}$
  
  
  • $(2)$ から，$x_2=\dfrac{\beta}{p_2\lambda} =\dfrac{\beta}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_2}$
  
  
  • $(3)$ から，$x_3=\dfrac{\gamma}{p_3\lambda} =\dfrac{\gamma}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_3}$
  
  
  ゆえに最適解は，$(x_1,x_2,x_3)=\left( \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_1}, \dfrac{\beta}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_2}, \dfrac{\gamma}{\alpha + \beta +\gamma}\dfrac{I}{p_3} \right)$．

• 【問 7.19】の目的関数： $u(x_1,x_2,x_3)=(x_1)^{\alpha}(x_2)^{\beta}(x_3)^{\gamma}$
• 【問 7.20】の目的関数： $v(x_1,x_2,x_3)={\alpha}\log_{}{x_1}+{\beta}\log_{}{x_2}+{\gamma}\log_{}{x_3}$

• 【問 7.19】の目的関数： $\log_{}{u(x_1,x_2,x_3)}=\log_{}{(x_1)^{\alpha}(x_2)^{\beta}(x_3)^{\gamma}} ={\alpha}\log_{}{x_1}+{\beta}\log_{}{x_2}+{\gamma}\log_{}{x_3}$
• 【問 7.20】の目的関数： $e^{v(x_1,x_2,x_3)}=e^{{\alpha}\log_{}{x_1}+{\beta}\log_{}{x_2}+{\gamma}\log_{}{x_3}} =e^{\log_{}{(x_1)^{\alpha}(x_2)^{\beta}(x_3)^{\gamma}}}=(x_1)^{\alpha}(x_2)^{\beta}(x_3)^{\gamma}$