例題7.9より，無差別曲線の法線ベクトルは， $ \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x^{*},y^{*})\\ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x^{*},y^{*}) \end{pmatrix} $ である． また，予算線 $px+qy=I$ の法線ベクトルは， $ \begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix} $ である．これらが平行であることから，ある$\lambda$に対し， $ \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x^{*},y^{*})\\ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x^{*},y^{*}) \end{pmatrix} =\lambda \begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix} $ となる．これが$1$階条件になる．制約式とあわせると， \[ \dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial x}(x^{*},y^{*})} {\dfrac{\partial f}{\partial y}(x^{*},y^{*})} =\dfrac{p}{q}， px^{*}+qy^{*}=I \] を得る．