経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.4(2)解答例

• 【Step 1】偏微分する． \begin{align} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=-4x(y-x^2)-2(1-x)=-4xy+4x^3-2+2x \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=2(y-x^2) \end{align}


• 【Step 2】$1$階条件から導かれる方程式は， \[ \left\{\begin{align} -4xy+4x^3-2+2x&=0　\cdots　(1)\\ 2(y-x^2)&=0　\cdots　(2) \end{align} \right. \] $(2)$ から $y=x^2$．これを (1) に代入すると，$-4x^3+4x^3-2+2x=-2+2x=0$．ゆえに$x=1, y=1$ 以上より，最適解は $(x,y)=(1,1)$．