経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.4(4)解答例

• 【Step 1】偏微分する． \begin{align} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=(2x-y-1)e^{(x^2-xy+2y^2-x-3y)} \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=(-x+4y-3)e^{(x^2-xy+2y^2-x-3y)} \end{align}


• 【Step 2】$1$階条件から導かれる方程式は， \[ \left\{\begin{align} (2x-y-1)e^{(x^2-xy+2y^2-x-3y)}&=0\\ (-x+4y-3)e^{(x^2-xy+2y^2-x-3y)}&=0 \end{align} \right. \] $e^{(x^2-xy+2y^2-x-3y)}\neq 0$ であるので， \[ \left\{\begin{align} 2x-y-1&=0　\cdots　(1)\\ -x+4y-3&=0　\cdots　(2) \end{align} \right. \] $(1)+(2)\times 2$をつくると，$7y-7=0$．ゆえに $y=1$．これを $(1)$ に代入すると，$2x-1-1=0$ より，$x=1$． 以上より，最適解は $(x,y)=(1,1)$．