経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.5(3)解答例

• 【Step 1】偏微分する． \begin{align} \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2,x_3)&=x_2x_3-1\\ \dfrac{\partial f}{\partial x_2}(x_1,x_2,x_3)&=x_1x_3-1\\ \dfrac{\partial f}{\partial x_3}(x_1,x_2,x_3)&=x_1x_2-1 \end{align}


• 【Step 2】$1$階条件から導かれる方程式は， \[ \left\{\begin{align} x_2x_3-1&=0　\cdots　(1)\\ x_1x_3-1&=0　\cdots　(2)\\ x_1x_2-1&=0　\cdots　(3) \end{align} \right. \] $(2)$ より $x_3=\dfrac{1}{x_1}$． $(3)$ より $x_2=\dfrac{1}{x_1}$． したがって．$(1)$ より $\left(\dfrac{1}{x_1}\right)^2=1$． ゆえに$x_1=\pm 1$．$(2),(3)$ を使うと， $x_1=\pm 1, x_2=\pm 1, x_3=\pm 1$（複号同順） 以上より，$1$階条件を満たす解は $(x_1,x_2,x_3)=(1,1,1), (-1,-1,-1)$ である．