経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.6解答例

• 制約式を移項して，左辺が関数の形になるよう書きかえる． $g(x,y)=2x+y-4=0$


• 偏微分して，ならべて，おまじないの $\times \lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ の上に書く． \[ \begin{array}{cc} &\times\lambda\\ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=2\\[2ex] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=1\\[2ex] \end{array} \]


• おまじないの $\lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ にかけ込んで $0,=,-$ で式の間をつなぐ．制約式も忘れずに加える．これで $3$ 変数の連立方程式が計 $2+1=3$ 個できる． \[ \left\{ \begin{array}{ll} 0=\displaystyle y - 2\lambda &\qquad (1)\\[1ex] 0=\displaystyle x - \lambda &\qquad (2)\\[1ex] 0=2x+y-4&\qquad (3) \end{array} \right. \]


• 勇気を出してこの連立方程式を作ってさえしまえば，あとは解くだけ． $(1)$から$y=2\lambda$． $(2)$から$x=\lambda$．これを$(3)$に代入して $\displaystyle 2\lambda +2\lambda -4=0$から$\lambda =1$． ゆえに$x=1, y=2$と求まる． 以上より，最適解は $(x,y)=(1,2)$．