経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.7解答例

• 制約式を移項して，左辺が関数の形になるよう書きかえる． $g(x,y)=4x+y-24=0$


• 偏微分して，ならべて，おまじないの $\times \lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ の上に書く． \[ \begin{array}{cc} &\times\lambda\\ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=4\\[2ex] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=1\\[2ex] \end{array} \]


• おまじないの $\lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ にかけ込んで $0,=,-$ で式の間をつなぐ．制約式も忘れずに加える．これで $3$ 変数の連立方程式が計 $2+1=3$ 個できる． \[ \left\{ \begin{array}{ll} 0=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} - 4\lambda &\qquad (1)\\[1ex] 0=\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}} - \lambda &\qquad (2)\\[1ex] 0=4x+y-24&\qquad (3) \end{array} \right. \]


• 勇気を出してこの連立方程式を作ってさえしまえば，あとは解くだけ． $(1)\div (2)$から$x^{-1}y=4$． ゆえに$y=4x$．これを$(3)$に代入して $4x+4x-24=0$． ゆえに$x=3, y=12$と求まる． 以上より，最適解は$(x,y)=(3,12)$．ちなみに $(2)$ から， $\lambda =\dfrac{1}{2}\times (3)^{\frac{1}{2}}(12)^{\frac{1}{2}} =\dfrac{1}{2}\times (36)^{\frac{1}{2}}=3$．