経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.8解答例

• 制約式を移項して，左辺が関数の形になるよう書きかえる． $g(x,y)=2x+3y-18=0$


• 偏微分して，ならべて，おまじないの $\times \lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ の上に書く． \[ \begin{array}{cc} &\times\lambda\\ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\dfrac{1}{3x} & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=2\\[2ex] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\dfrac{2}{3y} & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=3\\[2ex] \end{array} \]


• おまじないの $\lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ にかけ込んで $0,=,-$ で式の間をつなぐ．制約式も忘れずに加える．これで $3$ 変数の連立方程式が計 $2+1=3$ 個できる． \[ \left\{ \begin{array}{ll} 0=\dfrac{1}{3x} - 2\lambda &\qquad (1)\\[1ex] 0=\dfrac{2}{3y} - 3\lambda &\qquad (2)\\[1ex] 0=2x+3y-18&\qquad (3) \end{array} \right. \]


• 勇気を出してこの連立方程式を作ってさえしまえば，あとは解くだけ． $(1)\times 3$ と $(2)\times 2$を比較して，$\dfrac{1}{x}=\dfrac{4}{3y} $． ゆえに$y=\dfrac{4}{3}x$．これを$(3)$に代入して $2x+4x-18=0$． ゆえに$x=3, y=4$と求まる． 以上より，最適解は$(x,y)=(3,4)$．ちなみに $(1)$ から， $\lambda =\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3\times 3}=\dfrac{1}{18}$．