経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：問7.9解答例

• 制約式を移項して，左辺が関数の形になるよう書きかえる． $g(x,y)=L^{\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}}-6=0$


• 偏微分して，ならべて，おまじないの $\times \lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ の上に書く． \[ \begin{array}{cc} &\times\lambda\\ \displaystyle \frac{\partial c}{\partial L}(L,K) =4 & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial L}(L,K)= \dfrac{1}{2}L^{-\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}}\\[2ex] \displaystyle \frac{\partial c}{\partial K}(L,K) =1 & \displaystyle \frac{\partial g}{\partial K}(L,K)= \dfrac{1}{2}L^{\frac{1}{2}}K^{-\frac{1}{2}}\\[2ex] \end{array} \]


• おまじないの $\lambda$ を $\displaystyle {\partial g}$ にかけ込んで $0,=,-$ で式の間をつなぐ．制約式も忘れずに加える．これで $3$ 変数の連立方程式が計 $2+1=3$ 個できる． \[ \left\{ \begin{array}{ll} 0=4- \dfrac{\lambda}{2}L^{-\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}}&\qquad (1)\\[1ex] 0=1- \dfrac{\lambda}{2}L^{\frac{1}{2}}K^{-\frac{1}{2}}&\qquad (2)\\[1ex] 0=L^{\frac{1}{2}}K^{\frac{1}{2}}-6&\qquad (3) \end{array} \right. \]


• 勇気を出してこの連立方程式を作ってさえしまえば，あとは解くだけ． $(1)$ と $(2)$を移項して辺々割り算を行う． $L^{-1}K=4$ より $K=4L$． これを$(3)$に代入して $L^{\frac{1}{2}}\left(4L\right)^{\frac{1}{2}}-6=2L-6=0$． ゆえに$L=3, K=12$と求まる． 以上より，最適解は$(L,K)=(3,12)$．