経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

豊作貧乏と弾力性

『経出るＷＢ』問1.18でみたように，「豊作貧乏」はいつでも起きる現象ではない．このことの検証．

【問】
ある年のキャベツの需要関数 $D$ が$1$次式 $D(p)=-ap+b$ で与えられているとする．豊作貧乏となる境界があるのだが，それを求めよ．

1. 需要関数が $q=-ap+b$ だから，価格 $p$ の時の収入は $R(p)=p\times D(p) =-ap^2+bp$．


2. 価格に微小変化 $\Delta p$ が起きたときの収入は $R(p+\Delta p)=(p+\Delta p)\times D(p+\Delta p)= -ap^2-2ap\Delta P -a(\Delta p)^2+bp+b\Delta p\approx -ap^2-2ap\Delta P +bp+b\Delta p$（$a(\Delta p)^2$は無視できるほど小さい）．


3. $R(p+\Delta p)-R(p)=-2ap\Delta p +b\Delta p=\Delta p(-2ap+b)$


4. したがって収入は，価格の上昇に伴い，$\left\{\begin{align}-2ap+b>0&\Longleftrightarrow p < \dfrac{b}{2a} のとき，増加，\\ -2ap+b<0&\Longleftrightarrow p > \dfrac{b}{2a} のとき，減少．\end{align}\right.$