経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
ゼロクーポン債の構築
【問】 償還$n$と額面$F$が同じ期日の利付債$B_1$と$B_2$がある．
債券$B_1$のクーポンレートを$c_1$とし，
債券$B_2$のクーポンレートを$c_2$とする．
このふたつの債券を使ってゼロクーポン債を構築しなさい．
【解答】
連立方程式，
\begin{align*}
c_1Fw_1+c_2Fw_2&=0\\
w_1F+w_2F&=F
\end{align*}
を解けばよい．
\[
w_1c_1+w_2c_2=0
\]
に，$w_2=1-w_1$を使うと，
\begin{align*}
w_1c_1+(1-w_1)c_2&=0\\
w_1\bigl(c_1-c_2\bigr)+c_2&=0\\
\end{align*}
従って，
\begin{align*}
w_1&=\dfrac{-c_2}{c_1-c_2}\\
w_2&=\dfrac{c_1}{c_1-c_2}．
\end{align*}
【解答終】
【メモ】
日本には，長期のゼロクーポン債はないが，それと同じキャッシュ・フローを利付債を使って，実現できるかという問題．債券$B_1$の価格を$P_1$とし，
債券$B_2$の価格を$P_2$とすると，このポートフォリオの価格は
$P=\dfrac{c_1P_2-c_2P_1}{c_1-c_2}$になるはず．$P > 0$だろうか？
【メモ終】
【Further Reading】
デービッド・Ｇ・ルーエンバーガー『金融工学入門』日本経済新聞社（2002）
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