経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

『経出る』練習問題2.2 $n$ 企業クールノーゲームに出る総利潤 $n\left(\dfrac{80}{n+1}\right)^2$ の単調性．

【問】 $n\geq 1$ とする．$f(n)=n\left(\dfrac{a}{n+1}\right)^2$ は $n$ の減少関数になることを示しなさい．

【解答】

\begin{align} f(n)-f(n+1)&=n\left(\dfrac{a}{n+1}\right)^2-(n+1)\left(\dfrac{a}{n+2}\right)^2\\[2ex] &=n\left(\dfrac{a}{n+1}\right)^2-\dfrac{(n+1)^3}{(x+2)^2}\left(\dfrac{a}{n+1}\right)^2\\[2ex] &=\left(\dfrac{a}{n+1}\right)^2\dfrac{n(n+2)^2-(n+1)^3}{(n+2)^2}\\[2ex] &=\left(\dfrac{a}{n+1}\right)^2\dfrac{(n^3+4n^2+4n)-(n^3+3n^2+3n+1)}{(n+2)^2}\\[2ex] &=\left(\dfrac{a}{n+1}\right)^2\dfrac{n^2+n-1}{(n+2)^2}\geq 0． \end{align}

【解答終】

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