経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
$2$次方程式と内部収益率
【問】 投資額$I=100$，キャッシュ・フロー$CF_1=25,CF_2=84$の内部収益率を求めなさい．
【解答】
Time Line Technique の表から，
\[
\begin{array}{cccc}
年 & \hspace{4mm}CF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}DF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}PV\hspace{4mm}\\ \hline
0 & -100 &/ 1 & -I \\
1 &25& / (1+r)^1& \dfrac{CF_1}{(1+r)}\\
2 &84& / (1+r)^2& \dfrac{CF_2}{(1+r)^2}\\
\end{array}
\]
であるので，内部収益率は$r$についての方程式，
\[
-100+\dfrac{25}{(1+r)}+\dfrac{84}{(1+r)^2}=0
\]
の解である．ここで$x={1+r}$とおくと，この方程式は次の$2$次方程式で表される：
\[
100x^2-25x-84=0．
\]
このとき，解の公式から，
\begin{align}
x&=\dfrac{25+\sqrt{25^2+4\cdot 84\cdot 100}}{2\cdot 100}=1.05.
\end{align}
ゆえに内部収益率$r=1.05-1=0.05$となる．
【解答終】
【Further Reading】
小峰みどり『アナリストのための数学入門』ビジネス教育出版社（1989）
ふろく（２）応用問題 一覧へ