経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

$2$次方程式とニュートン法

　方程式$f(x)=0$の近似解を求めるために使われるのがニュートン法である．解に近い任意の$x_0$からスタートし，$x_k$が計算されたとし，$x_{k+1}$を \[ x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)}{f^{\prime}(x_k)} \] で定義し反復を重ねることで近似解を得る．

【問】　$2$次方程式 \[ 100x^2-25x-84=0． \] に対して，$x_0=1$から始めて，反復を$2$回行い近似解を得なさい．

$1$回目の反復

• $f(x_0)=100-25-84=-9$


• $f^{\prime}(x_0)=200-25=175$


• $x_1=1-\dfrac{-9}{175}=\dfrac{184}{175}\approx 1.051428$

$2$回目の反復

• $f(x_1)=100\Bigl(\dfrac{184}{175}\Bigr)^2- 25\Bigl(\dfrac{184}{175}\Bigr)-84= \dfrac{8100}{175^2}$


• $f^{\prime}(x_1)=200\Bigl(\dfrac{184}{175}\Bigr)-25= \Bigl(\dfrac{32425}{175}\Bigr)$


• $x_2=\dfrac{184}{175}- \dfrac{8100}{175^2}\cdot\dfrac{175}{32425} =\dfrac{5958100}{5674375} \approx 1.050001$