経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
Cauchy-Schwarzの不等式
【問】 $a_i, b_i, i=1,2, \ldots , n$を実数とすると，次の不等式が成立することを示しなさい．
\[
\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\Bigr)
\geq \Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\Bigr)^2
\]
【解答】
少なくとも一つの$i$について，$a_i\neq 0$のケースを考える．今$2$次方程式，
\begin{equation}
\label{quadratic_equation}
\sum_{i=1}^n(a_ix-b_i)^2=0\qquad (1)
\end{equation}
を考える．(1)式の左辺を展開すると，
\begin{equation}
\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\Bigr)x^2-2\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\Bigr)x
+\Bigl(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\Bigr)=0\qquad (2)
\end{equation}
(1)式の中身は$0$以上なのだから，
方程式(2)の左辺も$0$以上で，解を持たない．(2)式の$2$次の係数は仮定によって$\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\Bigr)>0$従って，グラフは$x$軸より上に存在する，下に凸な放物線だから，その判別式は$0$以下である．
\begin{eqnarray*}
D/4&=&\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\Bigr)-
\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\Bigr)\leq 0\\
&\Leftrightarrow &\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\Bigr)\leq
\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\Bigr)
\end{eqnarray*}
【解答終】
【Further Reading】
伊藤幹夫，戸瀬信之『経済学とファイナンスのための基礎数学』共立出版（2008）
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