経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

貯蓄の積立に関する理解度

『経出る』p.56脚註には，金融広報中央委員会のアンケートが取り上げられている．『経出る』で触れられているのは「子どものくらしとお金に関する調査」だが，ここでは「金融に関する消費者アンケート調査」（$20$歳以上の男女対象）からつぎのアンケートを取り上げたい．

同じ年の A さんと B さんがいます．A さんは 25 歳のとき，銀行に毎年 20 万円ずつ預 入し始めましたが，B さんはしていません．50 歳になったとき，B さんは退職後の生活 に備えてお金が必要だと気付き,銀行に毎年 40 万円ずつ預入し始めましたが，A さんの 預入は相変わらず毎年 20 万円ずつのままです．さて，2 人が 75 歳になったとき，どちらが多くのお金 (預金残高) をもっているでしょうか．

1. 2 人とも同額を預入したので,同額を保有している（8.7％）
2. A さん．長期にわたって貯蓄して運用されているから（71.3）
3. B さん．1年間の貯蓄額が A さんより多いから（2.9％）
4. よくわからない（16.7％）

【問】　毎年 $a$ 円を $2n$ 年積み立てたAさんの預金残高を $S_A$ とし， 毎年 $2a$ 円を $n$ 年積み立てたBさんの預金残高を $S_B$ とする．このとき， $S_A \geq S_B$ となることを示しなさい．ただし利子率を $r$ とする．

• Aさん： \[ \begin{array}{rcccccccccc} S_{A}&=&a&+&a(1+r)&+&\cdots&+&a(1+r)^{2n-1}& & \\ (1+r)S_{A}&=& & &a(1+r)&+&\cdots&+&a(1+r)^{2n-1}&+&a(1+r)^{2n}\\\hline rS_{A}&=&-a& & & & & & &+&a(1+r)^{2n} \end{array} \] \begin{equation} S_{A}=\frac{ \ a \ }{r}\Bigl\{(1+r)^{2n}-1\Bigr\}. \end{equation}
• Bさん： \[ \begin{array}{rcccccccccc} S_{B}&=&2a&+&2a(1+r)&+&\cdots&+&2a(1+r)^{n-1}& & \\ (1+r)S_{A}&=& & &2a(1+r)&+&\cdots&+&2a(1+r)^{n-1}&+&2a(1+r)^{n}\\\hline rS_{B}&=&-2a& & & & & & &+&2a(1+r)^{n} \end{array} \] \begin{equation} S_{B}=\frac{ \ 2a \ }{r}\Bigl\{(1+r)^{n}-1\Bigr\}. \end{equation}
• $S_A \geq S_B$ の確認： \begin{align} S_A \geq S_B&\Longleftrightarrow (1+r)^{2n}-1\geq 2(1+r)^{n}-2\\[2ex] &\Longleftrightarrow (1+r)^{2n}+1\geq 2(1+r)^{n}\\[2ex] &\Longleftrightarrow (1+r)^{n}+\dfrac{1}{(1+r)^{n}}\geq 2\\[2ex] \end{align} 最後の不等式は，$相加平均 \geq 相乗平均$ の関係式から直ちにしたがう．ちなみに等号が成立するのは，$(1+r)^{n}=\dfrac{1}{(1+r)^{n}}$ のときだから，$r=0$ のときである．