経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
実効金利
利率$r$で連続金利運用した場合，元本$a$円は$1$年で$ae^r$円になる．
年利$R$で$1$年運用した結果と見れば，$a(1+R)=ae^r$が成立するので，
\[
R=e^r-1
\]
となる．$R$のことを実効金利という．
$r$を名目金利，$f$をインフレ率，$r_0$を実質金利とし，それぞれの実効金利を$R$, $F$, $R_0$とする．このとき，
\[
r_0=r-f
\]
が成立することを示しなさい．
【解答】
$1+R_0=\dfrac{1+R}{1+F}$なので，$R_0=\dfrac{R-F}{1+F}$が成立する．
したがって，
\begin{align}
e^{r_0}-1&=\dfrac{(e^r-1)-(e^f-1)}{1+(e^f-1)}\\
&=\dfrac{e^r-e^f}{e^f}\\
&=\dfrac{e^r}{e^f}-1\\
&=e^{r-f}-1
\end{align}
より，$r_0=r-f$を得る．
【解答終】
【Further Reading】
小林道正『ファイナンス数学の基礎』朝倉書店（2000）
ふろく（２）応用問題 一覧へ