経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
指数・双曲割引の時間割引率
割引関数$D(t)$（$t$は時間）に対して，$-\dfrac{D^{\prime}(t)}{D(t)}$を時間割引率という．
\[
-\dfrac{D^{\prime}(t)}{D(t)}\approx \dfrac{\dfrac{D(t+1)-D(t)}{1}}{D(t)}
=-\dfrac{D(t+1)-D(t)}{D(t)}
\]
なので$1$単位時間待つことに対しての，待てる度合いの変化率を表している．
1. 指数割引$D(t)=e^{-rt}$に対しては時間割引率は一定であることを示しなさい．
2. 双曲割引$D(t)=\dfrac{1}{1+kt}$に対しては時間割引率は減少関数であることを示しなさい．
【解答】
-
$D^{\prime}(t)=-ke^{-rt}$であるので
\begin{eqnarray*}
-\dfrac{D^{\prime}(t)}{D(t)}&=&-\dfrac{-ke^{-rt}}{e^{-rt}}\\
&=&k（一定）.
\end{eqnarray*}
-
$D^{\prime}(t)=\dfrac{-k}{(1+kt)^2}$であるので
\begin{eqnarray*}
-\dfrac{D^{\prime}(t)}{D(t)}&=&-\dfrac{\dfrac{-k}{(1+kt)^2}}{\dfrac{1}{1+kt}}\\
&=&{\dfrac{k}{(1+kt)}}（減少関数）.
\end{eqnarray*}
【解答終】
【メモ】
『経出る』5.8節にあるように，時間に応じて変化する関数$f(t)$に対して，
その第$t$期における成長率はを$R(t)$とすると，時間が離散的に流れるならば
\[
R(t)=\dfrac{f(t+1)-f(t)}{f(t)}
\]
で考えられる．連続時間では時間感覚を$\varepsilon$とおいて$\varepsilon \to 0$とした極限として
捉えることができる．ただし，離散時間と同様に成長率を考えると
\[
\lim_{\varepsilon \to 0}\dfrac{f(t+\varepsilon)-f(t)}{f(t)}=0
\]
となってしまう．そこで連続時間の場合は定義を変え，時間間隔で割り
そこで$\varepsilon \to 0$とした極限として考える．つまり
\[
R(t)=\lim_{\varepsilon \to 0}\dfrac{f(t+\varepsilon)-f(t)}{f(t)}\times \dfrac{1}{\varepsilon}
=\dfrac{f^{\prime}(t)}{f(t)}
\]
で成長率を定義したのと同じ考え方による．
マイナスがついているのは$D(t+\varepsilon ) < D(t)$を調整するため．
【Further Reading】
大垣・田中『行動経済学』有斐閣（2014）
高橋泰城 note 指数、双曲割引の時間割引率の近似数値計算
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