経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
フィッシャー方程式
名目金利を$i$，期待インフレ率を${\pi}^e$，実質金利を$r$とする．
このとき近似を用いてフィッシャー方程式
\[
r=i-{\pi}^e
\]
を導け．
【解答】
今年の物価水準を$P$，来年の予想物価水準を$P^e$とすると，期待インフレ率は
\[
{\pi}^e=\dfrac{P^e-P}{P}=\dfrac{P^e}{P}-1
\]
である．
$P$円を金融市場で運用すると$P(1+i)$となる．
運用後の値を翌年の予想物価水準で割ったものである
\[
\dfrac{P(1+i)}{P^e}
\]
が買える財の個数となる．
\[
{\pi}^e+1=\dfrac{P^e}{P}
\]
なので，
\[
\dfrac{P(1+i)}{P^e}=\dfrac{(1+i)}{1+{\pi}^e}
\]
となる．
実質金利により買える財の個数は$1\to 1+r$個になりこれがこの値と等しいことから，
\[
1+r=\dfrac{(1+i)}{1+{\pi}^e}
\]
となる．
従って，
\[
1+i=(1+r)(1+{\pi}^e)\approx 1+r+{\pi}^e
\]
より，
\[
r=i-{\pi}^e
\]
を得る．
【解答終】
【Further Reading】
平口・稲葉『マクロ経済学 入門の「一歩前」から応用まで [第3版]有斐閣ストゥディア（2020）
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