経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
月までの距離
『経出るワークブック』例題3.14の解答の誤りの修正
厚さ1ミリの紙を倍々に折っていった場合，38回では月まで届く距離にならないことを示しなさい．常用対数を利用し，$2^{38}$ と $2^5\times 10^{10}$の大小を比較して答えなさい。
ただし地球から月までの距離は、最大で406,700km、最小で356,400kmとする。また$\log_{10}2=0.3010$とする．
【解答】
\begin{align*}
\log_{10}2^{38}&=38\times 0.3010=11.438\\
\log_{10}(2^5\times 10^{10})&=5\times 0.3010+10=11.505
\end{align*}
したがって，
$2^{38} < 2^5\times 10^{10}=320,000,000,000 \;{\rm mm}$
\begin{align*}
2^{38}\; {\rm mm}<320,000,000,000\; {\rm mm}&\Leftrightarrow 2^{38}\; {\rm mm}<320,000,000\;{\rm m}\\[2mm]
&\Leftrightarrow 2^{38}\; {\rm mm}<320,000\; {\rm km}\\[2mm]
&\Leftrightarrow 2^{38}\; {\rm mm}<32万 {\rm km}%\\[2mm]
%\end{eqnarray*}
\end{align*}
となり，最小の356,400kmに届かない．
【解答終】
『経出るワークブック』問3.35（1）の詳解
厚さ1ミリの紙を倍々に折っていったらわずか39回で月まで届く距離になることを示しなさい．その際，常用対数を利用し，$2^{39}$ と $2\times 3^3\times 10^{10}$の大小を比較して答えなさい．
ただし地球から月までの距離は、最大で406,700km、最小で356,400kmとする。また$\log_{10}2=0.3010,
\log_{10}3=0.4771$とする．
【解答】
\begin{align*}
\log_{10}2^{39}&=39\times 0.3010=11.739\\
\log_{10}(2\times 3^3\times 10^{10})&=0.3010+3\times 0.4771+10=11.7323
\end{align*}
したがって，
$2^{39} >2\times 3^3\times 10^{11}=540,000,000,000 \;{\rm mm}$
\begin{align*}
2^{39}\; {\rm mm}>540,000,000,000\; {\rm mm}&\Leftrightarrow 2^{39}\; {\rm mm}>540,000,000\;{\rm m}\\[2mm]
&\Leftrightarrow 2^{39}\; {\rm mm}>540,000\; {\rm km}\\[2mm]
&\Leftrightarrow 2^{39}\; {\rm mm}>54万 {\rm km}%\\[2mm]
%\end{eqnarray*}
\end{align*}
となり，最大の406,700kmを大きく越える．
【解答終】
【謝辞】
例題3.14の解答の誤りと修正案をご教示くださった，広島修道大学の小川健先生に感謝致します．
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