経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
双曲割引（単利による割引）と指数割引（複利による割引）の比較（2015.11.24作成）
$c$円を単利で割引くと$\dfrac{c}{(1+nr)}$円，複利で割引くと$\dfrac{c}{(1+r)^n}$円であるが，両者にはいつでも成立する不等式がある．
$\dfrac{c}{(1+nr)}\geq \dfrac{c}{(1+r)^n}$を示しなさい．
【解答】
$n$についての帰納法．$n=1$のとき，等号でなりたつ．
$n$ のとき$\dfrac{c}{(1+nr)}≧\dfrac{c}{(1+r)^n}$が成り立つと仮定する．このとき，
\begin{eqnarray*}
\dfrac{c}{(1+r)^{n+1}}&=&\dfrac{c}{(1+r)^{n}}\cdot \dfrac{1}{(1+r)}\\
&≦&\dfrac{c}{(1+nr)}\cdot \dfrac{1}{(1+r)}\quad（帰納法の仮定から）\\
&=&\dfrac{c}{1+r+nr+nr^2}\\
&≦&\dfrac{c}{1+r+nr}=\dfrac{c}{1+(n+1)r}.
\end{eqnarray*}
【解答終】
【メモ】
- 実は$2$項定理を使えば，
\[
(1+r)^n=1+_{n}C_{1}r+_{n}C_{1}r^2+\cdots +r^n \geq 1+nr
\]
より，明らか．
- これは離散版の割引係数．連続版についてはここで解説．
【メモ終】
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