経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
72ルール
利子率$i=100r$（パーセント表示）で元金が$2$倍になる年数$n$は，
\[
n=\dfrac{72}{i}
\]
で近似できることを示しなさい．ただし，$\log_{}{2}\approx 0.69$とする．
【解答】
元金を$a$とすると，$a(1+r)^n=2a$なので
\[
(1+r)^n=2
\]
が成立する．両辺の対数をとると，
\begin{align}
n\log_{}{(1+r)}&
=\log_{}{2}\\
n&=\dfrac{\log_{}{2}}{\log_{}{(1+r)}}\\
&\approx\dfrac{\log_{}{2}}{r}\\
&\approx\dfrac{0.69}{r}\\
&= \dfrac{69}{100r}＝\dfrac{69}{i}．\\
\end{align}
従って本来は$69$ルールなのだが，約数の多い$72$を用いると目の子算が容易いので，
\[
n\approx \dfrac{72}{i}
\]
を用いるのが慣例．
【解答終】
【メモ】
$f(x)\approx f(1)+f^{\prime}(1)(x-1)$なので，
$f(x)=\log_{}{x}$に対し，$f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$より，
\[
\log_{}{(1+r)}\approx r
\]
を使った．なので，72ルールは$r\approx 0$に対して適用可能な法則．
【メモ終】
【Further Reading】
丹野忠晋『経済数学入門−初歩から一歩ずつ−』日本評論社（2017）
沢木耕太郎『危機の宰相』文春文庫（2008）
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