経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
実質金利
$r$を名目金利，$f$をインフレ率としたとき，実質金利$r_0$を求めなさい．また$f\approx 0$のとき，
\[
r_0\approx r-f
\]
で近似できることを示しなさい．
【解答】
ある商品の現在の価格を$p$円，
とすると現在の$a$円の購買力は$\dfrac{a}{p}$である．
名目金利が$r$なのだから，現在の$a$円は将来の$a(1+r)$円になる．またインフレ率が$f$なのだから将来の価格は$p(1+f)$円となる．
従って将来の購買力は$\dfrac{a(1+r)}{p(1+f)}$である．
実質金利を使えば将来の購買力は$\dfrac{a(1+r_0)}{p}$となる．
従って，三者の利率には次の関係が成立する．
\[
(1+r_0)=\dfrac{1+r}{1+f}．
\]
$r_0$について解くと，
\begin{align}
r_0&
=\dfrac{1+r}{1+f}-1=\dfrac{(1+r)-(1+f)}{1+f}\\
&=\dfrac{r-f}{1+f}\\
&\approx r-f（f\approx 0 のとき）\\
\end{align}
【解答終】
【メモ】
最後の近似式は，$(1+r_0)=\dfrac{1+r}{1+f}$の両辺の対数をとって，
\[
\log_{}{(1+r_0)}=\log_{}{(1+r)}-\log_{}{(1+f)}
\]
とした後，
$x\approx 0$のとき，
\[
\log_{}{(1+x)}\approx x
\]
となる関係を使っても得られる．
【メモ終】
【Further Reading】
デービッド・Ｇ・ルーエンバーガー『金融工学入門』日本経済新聞社（2002）
佐野三郎『証券アナリストのための数学・統計学入門』ビジネス教育出版社（2015）
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