経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
単利と複利の比（利率$r$の関数）
$FV_{s}(r)$を，$a$円を利率$r$で$n$年単利運用した場合の将来価値とし，
$FV_{c}(r)$を，$a$円を利率$r$で$n$年複利運用した場合の将来価値とする．
複利と単利の比，
\[
f(r)=\dfrac{FV_{c}(r)}{FV_{s}(r)}
\]
は$r$について単調増加であることを示しなさい．
【解答】
$f(r)=\dfrac{(1+r)^{n}}{1+nr}$を微分すると，商の公式から，
\begin{align}
f^{\prime}(r)&=
\dfrac{n(1+r)^{n-1}(1+nr)-n(1+r)^{n}}{(1+nr)^2}\\
&=n(1+r)^{n-1}\dfrac{(1+nr)-(1+r)}{(1+nr)^2}\\
&=n(1+r)^{n-1}\dfrac{(n-1)r}{(1+nr)^2}\geq 0.
\end{align}
従って，$f(r)$は単調増加である．
【解答終】
【メモ】
複利運用と単利運用のギャップは利率が大きくなる程，大きくなることを意味している．
【メモ終】
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