経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
割引債の価格の変動率
債券は利子率が変動することによって，債券価格も変動するリスクにさらされる．本問は割引債についてそのリスクを考える．
- $r$：現在の利子率
- $\bar{r}$：変化後の利子率
- $P=P(r)$：現在の債券価格
- $\bar{P}=P(\bar{r})$：変化後の債券価格
- $\Delta r =\bar{r}-r $：利子率の変動値
- $\Delta P =\bar{P}-P $：債券価格の変動値
- $\dfrac{\Delta P}{P}$：価格の変動率
【問】 割引債の価格の変動率 $\dfrac{\Delta P}{P}$ を求めなさい．
【解答】
Time Line Technique の表から，
\[
\begin{array}{cccc}
年 & \hspace{4mm}CF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}DF\hspace{4mm} & \hspace{4mm}PV\hspace{4mm}\\ \hline
0 & -P &/ 1 & 0 \\
1 &0& / (1+r)^1& 0\\
2 &0& / (1+r)^2& 0\\
\vdots &\vdots& \vdots&\vdots \\
n &F& / (1+r)^n & \dfrac{F}{(1+r)^n}\\
\end{array}
\]
であるので，$P=\dfrac{F}{(1+r)^n}$，$\bar{P}=\dfrac{F}{(1+\bar{r})^n}$ である．したがって，
\begin{align}
\dfrac{\Delta P}{P}&=
\dfrac{\dfrac{F}{(1+\bar{r})^n}-\dfrac{F}{(1+r)^n}}{\dfrac{F}{(1+r)^n}}\\[2ex]
&=\left(\dfrac{1+r}{1+\bar{r}}\right)^n-1
\end{align}
となる．
【解答終】
【メモ】
割引債の変動率は利子率と，償還年数だけで決まることがわかる．
\[
\begin{array}{ccccc}
\displaystyle r>\bar{r} &\Leftrightarrow &\displaystyle\frac{1+r}{1+\bar{r}}>1 &\Leftrightarrow &\displaystyle \frac{\Delta P}{P} > 0：利子率が下がると価格は上昇\\[2ex]
\displaystyle r<\bar{r} &\Leftrightarrow &\displaystyle\frac{1+r}{1+\bar{r}}<1 &\Leftrightarrow &\displaystyle \frac{\Delta P}{P} < 0：利子率が上がると価格は下落\\
\end{array}
\]
【メモ終】
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